换个聪明点的农夫，能靠“守株”捉到兔子吗

有一则古代寓言故事叫《守株待兔》大意是：战国时期宋国有个农民，有一天，他在田地里耕作，看到一 只兔子从身旁飞跑而过，恰好撞在田边的一棵大树上，折断了颈项，死于树下。农民不费吹灰之力，拾得了一只现成的兔子。

这个农民自从拾到兔子之后，从此废弃耕耘，每天坐在那棵大树底下，等待着下一只兔子撞树而来。结果非但没有再拾到兔子，反而把田地给荒芜了！这则寓言出自先秦著作《韩非子》，它脍炙人口，已经流传了 2000 多年。

2000 多年来，人们总以为“待兔”不得，罪在“守株”! 其实，问题的关键在于兔子的运动规律。

倘若通往大树的路是兔子所必经的，那么“守株”又有何妨? 兔子的活动，在时空长河中，划出一条千奇百怪的轨迹。希望这条轨迹能与树木在时空中的轨迹再次相交，无疑是极为渺茫的，这正是这位农民的悲剧之所在！

下面一则更为精妙的例子，可以使人们生动地看到问题的症结。例中表明如能弄清兔子运动的规律，有时“守”甚至还是明智的！

列奥纳多・达・芬奇 (Leonardoda Vinci，1452—1519) 是意大利文艺复兴时期的艺术大师，达・芬奇不仅对绘画艺术造诣极深，而且对数学也颇有研究。

他曾提出过一个饶有趣味的“饿狼扑兔”问题：如图所示，一只兔子正在洞穴 C 处南面 60 码 (1 码 = 0.9144 米) 的地方 O 处觅食，一只饿狼此刻正在兔子正东 100 码的地方 A 处游荡。兔子回首间猛然遇见了饿狼贪婪的目光，预感大难临头，于是急忙向自己的洞穴奔去。饿狼见即将到口的美食就要落空，马上以兔子速度 2 倍的速度紧盯着兔子追去。于是，狼与兔之间展开了一场生与死的、惊心动魄的追逐。

问：兔子能否逃脱厄运? 有人做过以下一番计算。

以 O 为原点，OA，OC 分别为 x，y 轴，以 1 码为单位长。则 OA=100，OC=60。

根据勾股定理，在 Rt △ AOC 中：

这意味着，倘若饿狼沿 AC 方向直奔兔子洞穴，那么由于兔 子奔跑的速度只有狼奔跑的速度的一半，当饿狼到达兔穴洞口时，116.6÷2=58.3，即兔子只跑了 58.3 码距离，离洞口尚差 1.7 码。这时先行到达洞口的饿狼，完全可以守在洞口，“坐等” 美餐的到来!

以上计算似乎天衣无缝，结论是兔子厄运难逃。

可实际上这是错误的！饿狼不可能未卜先知地直奔兔穴洞口去“坐 等”，它的策略只能是死死盯住运动中的兔子，这样它本身追赶的路线成了一条曲线，这条曲线可以用解析的方法推导出来：

这意味着，如若北边没有兔子洞，那么当兔子跑到离原点 66 又 2/3 码的 B 点时，恰被饿狼逮住。

然而有幸的是，兔子洞离原点仅有 60 码，此时此刻兔子早已安然进洞了！

随着“饿狼扑兔”谜底的解开，对于“守株待兔”的辨析，似乎也已接近尾声。

不料，后来又有人提出异议，对《守株待兔》故事的真实性表示怀疑。

理由是：那么机灵的兔子怎会自己撞到偌大的树桩上去？它那两只精明的大眼睛干什么去了？！说得不无道理！不过，答案是肯定的。

要说清这一点，还得从眼睛的功能谈起。眼睛的视觉功能是有趣的，一只眼睛能够看清周围的物体，但却无法准确判断眼睛与物体之间的距离。下面的实验可以极为生动地证实这一点。

找两支削尖了的铅笔，两只手各拿起一支。然后闭 上一只眼睛，让两支笔的笔尖从远到近，对准靠拢。

这时，你会发现一种奇怪的现象：任你怎么集中注意力，两支笔尖总是交错而过！然而，如若你睁着双眼，要想对准笔尖却是很容易做到的。

以上实验表明：用两只眼看能准确判断物体的位置，而用 一只眼看却不能！那么，为什么用两只眼睛便能判定物体的准确位置呢？原来，同一物体在人的两眼中呈现出来的图像是不一样的！下图是一个隧道分别在两眼中的图像，它们之间的不同是很明显的。

现在我们回到兔子撞树的讨论上来。

人眼与兔眼的位置是不相同的：人的两眼长在前方，相距很近。而兔子的两眼却长在头的两侧。

又根据测定，兔子每只眼睛可见视野为 189°30'，而人的每只眼睛可见视野约 166°。

不过，由于人的两眼长在前面，因此两眼同时能看到的视野有 124° 左右。在这一区域内的物体，人眼能精确判定其位置。而兔眼虽说能看到周围任何东西，但两眼重合视野只有 19°，其中前方 10°，后方 9°。因此兔子只有在很小的视区内才能准确判断物体的远近！

由上图还能看出，纵然兔子对来自四方的威胁都能敏锐的感觉，但对鼻子底下的东西 (图中“?”号区域)，却完全看不到！

况且在惊慌失措的奔命中，说不准早已昏了头脑，撞树的事也就难保不会发生。

文源：《给孩子的数学故事书》

本文来自微信公众号：原点阅读 （ID：tupydread），作者：张远南 张昶